vsvor (vsvor) wrote,
vsvor
vsvor

Ветряные мельницы и теорема Ферма-Эйлера

Удивительно, что наглядное доказательство представимости простого числа p=4k+1 в виде суммы двух квадратов, по-видимому, придумали лишь несколько лет назад.

("Крылатые квадраты", см. стр. 12 в статье А. Спивака: http://mmmf.msu.ru/lect/spivak/summa_sq.pdf )

Это версия известного "доказательства в одну строчку" Цагира [Zagier, 1990], возникшего в свою очередь из несколько более сложной статьи [Heath-Brown, 1984]. Но доказательство Хита-Брауна у Айгнера и Циглера есть, а его геометрическая запись отсутствует даже в свежем издании "Доказательств из Книги" 2014-го года. Я был настолько потрясен, что нарисовал иллюстрации для школьников.

sq2

sq4

sq8

Очень хотелось бы добавить сюда и единственность представления, но на следующей картинке она мне лишь померещилась, причем довольно глупым образом.
sq9

-----------
Вот задача, которую проще решить, чем сформулировать: докажите, что любое простое число вида , кроме 17, принадлежит множеству, определенному выше, т.е., что соответствующий граф обязательно содержит хотя бы один цикл.

-----------

Алгоритм поиска разложения мог бы заключаться в чередовании операций до тех пор, пока не выполнится условие b=c, т.е., к вычислению элементов последовательности

но такой путь, как правило, равнозначен полному перебору решений уравнения p = a^2+4bc. Иная картина наблюдается лишь в 6 случаях из 80 при p<1000, и в 978 из 4783 при p<100000.

Грешно было бы не проверить, замешана ли в каких-либо темных математических делишках последовательность 229, 257, 401, 577, 733, 761, ... Да, связи у нее имеются, и единственная ссылка указывает на вполне серьезную статью о представлениях Галуа: A. Ash, W. Sinott, "An analogue of Serre's conjecture for Galois representations...", 1999 (см. стр. 16).

Алексей Глазырин оперативно сообщил, что в статье перечислены простые положительные фундаментальные дискриминанты, не превосходящие 1000, для которых число классов идеалов больше 1.

Кроме того:
1) число классов идеалов для всех простых чисел как из таблицы B2 в книге H. Cohen, A Course in Computational Agebraic Number Theory, p. 533, так и из первых 38 в OEIS 081364 равно удвоенному числу циклов в графе плюс единица, или числу циклов в подстановке f*g (где f и g - инволюции Цагира);
2) для составных положительных дискриминантов связность графа нарушается только при числе классов > 1.

Причина, видимо, в том, что в графе спрятаны банальные классы эквивалентности целых квадратичных форм с дискриминантом p, а инволюции - это преобразования координат. В самом деле [A. Granville, p.11], вот условия Гаусса, которые накладываются на редуцированную форму при положительном дискриминанте (записаны с учетом кривых обозначений, выбранных выше):

Первое неравенство означает, что центральный квадрат не содержит всех клеток фигуры. Второе и третье - что "мельница", во-первых, ограничена большим квадратом, чем равный ей по площади, при обоих положениях прямоугольника , а во-вторых, что сторона прямоугольника, примыкающая к квадрату, не больше стороны квадрата. Все это справедливо, как минимум, для тех "мельниц" из цикла, у которых сторона квадрата максимальна.

Преобразование формы в "соседнюю по Гауссу" подчинено условию:
,
что очевидным образом верно и для "мельниц" при расширении или сужении центрального квадрата на удвоенную сторону прямоугольника - нужно только считать, что знак a каждый раз меняется.

Итак, не до конца проверенные выводы:
- несколько итераций отображения f*g, где f и g - инволюции троек (a,b,c), рассмотренные Цагиром, являются шагом алгоритма Гаусса, переводящим редуцированную целую квадратичную форму bx^2+axy+cx^2 с положительным дискриминантом в другую форму с теми же свойствами. "Мельницы" являются наглядным геометрическим представлением более длительных преобразований (подобно тому, как в алгоритме Евклида можно вычитать из большего числа меньшее, рисуя прямоугольники, а можно сразу брать остаток);
- данный трюк позволяет, не приходя в сознание, доказывать некоторые известные результаты о единичности/неединичности числа классов (например, для чисел вида 4k^2+1 или m^2+4).

Написать, что ли, в известия пед. вузов?

(12.10.14)
Алексей подсказал, что на mathoverflow обсуждались корни доказательства Цагира. Один из участников (Franz Lemmermeyer) перевел его на язык квадратичных форм и упомянул о связи с алгоритмом Гаусса.
В книжке (учебном пособии?) этого же участника Binary Quadratic Forms как будто изложен алгоритм "безболезненного" редуцирования форм с положительным дискриминантом, основанный на преобразовании Цагира, но о равенстве между числом классов и числом орбит ничего не сказано. Понятно, что Цагир об этом должен был знать.

В статье [C. Elsholtz. A combinatorial approach to sums of two squares and related problems] рассказано о способах конструирования инволюций, в том числе для задачи о представлении p=8k+3=x^2+2y^2 и p=8k+7=x^2-2y^2. Что естественно, нашелся здесь (стр. 11) и конструктивный вариант доказательства, который изображен на последней картинке выше, вместе с заключением о неэффективности алгоритма.
На этот счет могут быть разные мнения, но мне кажется, что наиболее убедительный ответ на вопрос об истоках - именно клетчатые фигуры, а не определение коэффициентов линейного преобразования.

В другой статье [P.Shin. Involutions associated with sums of two squares. 1996.] кое-что рассказано об орбитах под действием (f*g)^s.

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments